Razrez

Ljudem se običajno primeri, da se v življenju znajdejo v situacijah, na katere po izkustveni plati niso pripravljeni, prav tako pa ne posedujejo teoretičnega znanja, ki bi jim v takšnih zagatah pripomoglo k rešitvi njihove težave. To se posebej pogosto zgodi, kadar je potrebno neko stvar razdeliti v razmerju 1:2, torej na dva kosa, od katerih prvi vsebuje 1/3, drugi pa 2/3 celotne stvari, ki jo želimo razdeliti.

Ilustrirajmo zagonetko na dveh praktičnih primerih. Denimo, da se znajdemo v gorah s tremi enako velikimi kosi kruha in eno pašteto, ki jo je treba enakomerno razmazati po njih. Ker nismo prepričani, da želimo pojesti ves kruh in pašteto hkrati, se odločimo, da želimo čim manj posegati v integriteto paštete in je iz konzerve izbezati le eno tretjino, pri čemer preostanek konzerve in paštete v njej pustimo kar se le da nepoškodovan. Pri tem dodajmo, da imamo na voljo pašteto s pokrovom iz aluminijaste folije, na primer Argeto ali Kekec, ne pa Gavrilovič, katere pokrov je izdelan iz pločevine in ga je zatorej potrebno odstraniti vsega naenkrat. Torej, najelegantnejša metoda ekstrakcijo želene količine paštete je, da konzervjo folijo, ki ima obliko kroga, odstranimo le na eni tretjini površine, nato pa tretjino paštete odrežemo od preostanka z enim samim ravnim rezom, kot je to prikazano na sliki. Na ta način bo zraku in bakterijam izpostavljena kar se da majhna površina preostanka paštete, ki jo lahko zatorej prihranimo za popoldanski del malice. Celoten postopek je dokaj jasen in enostaven, vendar pa je za njegovo izvedbo bistven podatek, ki ga človek brez uporabe naprednih matematičnih metod le stežka ugane: kje točno, torej na kolikšnem delu radija konzerve, moramo odrezati pašteto, da bo razpadla na dva kosa v razmerju 1:2.

Drugi primer: kuhamo kosilo in za pripravo omake imamo na voljo eno veliko čebulo, iz katere bi mogli pripraviti za tri ljudi omake. Ker kosilo kuhamo le zase, se zdi najprikladneje čebulo razdeliti v razmerju 1:2. Prvi, manjši del, ki ustreza 1/3 celotne čebule, porabimo takoj, drugi del pa shranimo v hladilnik in ga uporabimo v naslednjih dveh slastnih obrokih. Čebulo, v prvem približku kroglaste oblike, želimo razdeliti v ustreznem razmerju z enim samim ravnim rezom, katerega položaj bomo izračunali v nadaljevanju te razprave.

Navedena primera sta na prvi pogled podobna, vendar pa bistro oko brž napazi, da gre pri razrezu paštete za razkosavanje kroga, pri čebuli pa za razdelitev krogle. Krog in krogla bivata vsak v svojem prostoru, prvi v dvodimenzionalnem, druga pa v trodimenzionalnem, zato kojci posumimo, da bo odgovor na zastavljeni vprašanji različen. A zaradi univerzalnosti in splošnosti matematičnih enačb bomo zmogli na obe vprašanji odgovoriti hkrati. To bomo storili tako, da bomo razrešili problem čebule, krogle v 3-dimenzionalnem prostoru, nato pa rešitev posplošili na poljubno dimenzionalno kroglo, ki je za posebni primer dveh dimenzij enaka krogu, torej pašteti, za primer ene dimenzije pa palici.

No, pa začnimo. Imejmo kroglo z radijem 1, ki jo na razdalji z_0 od središča prerežemo z ravnino. Kako izračunati prostornino kosa, ki smo ga odrezali? I, kako, z integralom seveda. To storimo tako, da določimo površino reza, ki bi ga dobili, če bi kroglo prerezali na poljubni višini z, in površino pointegriramo po spremenljivki z v mejah od z_0 do 1:

V' = \int_{z_0}^1 S(z) dz.

V primeru 3-dimenzionalne krogle, torej čebule, ima rez obliko kroga z radijem r(z) = \sqrt{1 - z^2} in površino S(z) = \pi r(z)^2. Če torej želimo najti mesto reza z_0, ki ustreza našemu pogoju o delitvi, moramo tako izračunano prostornino primerjati s celotno prostornino krogle, ki izračunamo zelo podobno:

V =2 V_{1/2} =2  \int_{0}^1 S(z) dz.

Pri tem smo upoštevali simetrijo krogle in integral razpeli med 0 in 1 namesto med -1 in 1, kar bi morda utegnila biti naša prva zamisel. Pogoj za iskani z_0 je V'/V = 1/3 oziroma

V' = \frac{2}{3} V_{1/2}.

Zdaj smo dovolj daleč, da lahko za rešitev zapisane enačbe poprosimo računalniški program ali najbližjega pooblaščenega matematika, ki nam bo povedal, da se rezultat glasi

z_0 = 0.226074.

Čebulo moramo torej odrezati približno 22% radija stran od njenega središča. Rezultat je nekoliko priljudnejši, če ga izrazimo kot razmerje med položajem reza in premerom čebule,

\alpha_3 = \frac{1 + z_0}{2} = 0.613037.

Rezultatu smo pridodali indeks 3, s čimer želimo poudariti, da gre za rezultat, ki velja za 3-dimenzionalno kroglo, torej čebulo. Zanimivo je, da je številka blizu vrednosti $2/3$, ki bi jo kot odgovor pričakovali, če bi razrezovali palico, ki je na nek način krogla v 1 dimenziji.

Kako pa je s pašteto, s katero smo tako pompozno otvorili današnjo razpravo? Postopek je na las podoben postopku za kroglo, le da nas tokrat ne zanima površina reza na višini z, ampak njegova dolžina, saj je rez kroga v resnici daljica. A če smo bolj splošni, lahko tudi daljici rečemo 1-dimenzionalna krogla, tako kot lahko krogu rečemo 2-dimenzionalna krogla. To bo postalo pomembno nekoliko kasneje. Torej, dolžina reza paštete na višini z je

S(z) = 2 r(z) = 2 \sqrt{1 - z^2},

kar nas po enakem postopku kot za čebulo prek izračuna $z_0$ privede do rezultata

\alpha_2  = 0.632466.

Rezultat je še nekoliko podobnejši rezultatu za razrez palice

\alpha_1  = 0.666666 = \frac{2}{3},

saj je tudi pašteta bolj podobna palici kot čebula.

Bralci, ki vas je razprava pritegnila zaradi svoje uporabne vrednosti, lahko na tem mestu končate, saj se bo stvar prevesila v bolj abstraktno fazo. Znanje, ki ste ga doslej pridobili, popolnoma zadošča za natančen razrez palice, paštete in čebule v razmerju 1:2.

Ob ogledovanju dobljenih rezultatov nadebudnejše občinstvo zgrabi radovednost. Če se z višanjem dimenzije obravnavanega objekta položaj reza premika od začetne vrednosti 2/3 navzdol, bi bilo zanimivo ugotoviti, kaj se zgodi, ko naša krogla preseže okvire realnega sveta in se naseli v svetu 4, 5 ali pa morda celo več dimenzij? Kam tedaj limitira razmerje \alpha_n? Odgovor je še kar zanimiv.

Ker smo tako dobro zastavili problem za primer čebule, lahko popolnoma isti postopek uporabimo tudi za prostore višjih dimenzij. Iskana prostornina bo še vedno izračunana kot integral površine reza, ki je za splošen, n-dimenzionalen prostor enak prostornini krogle z radijem r(z) v (n-1) dimenzijah. Kot smo videli pri 3-dimenzionalni krogli je imel rez obliko kroga, torej 2-dimenzionalne krogle. Radij rezne krogle bo zaradi Pitagorovega izreka enak

r(z) = \sqrt{1 - z^2},

ne glede na to, s kolikšnim številom dimenzij operiramo. Uf, koliko smo že napisali. Če bi prej vedel, da bo tako, se morda sploh ne bi lotil pisanja. Ampak zdaj je, kar je. Preden lahko izvrednotimo potrebne integrale, moramo le še povprašati teto Wikipedijo, kako se izračuna prostornino n-dimenzionalne krogle, in odvrnila nam bo

S_n(r) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)} r^n.

Tako, pa imamo vse potrebne sestavine. To nam omogoča, da izračunamo položaj reza za poljubno dimenzionalno pašteto ali čebulo. Rezultat je prikazan na grafu številka 1.

Graf številka 1.

Interpretacijo rezultata prepuščam bralcem, sam pa bom raje napisal pesmico.

Rez v čebulo z nožem naredimo
Aspirin za lahko noč vzemimo
Za svoje zdravje vsak dan poskrbimo
Retorično vprašanje odgovorimo
Encijana glažek si nalijmo
Za konec pa še kakšno boljšo rimo poiščimo.

Objavljeno v Kako stvari delujejo, Poezija, Visoka znanost | Tagged | Komentiraj

April

V dobrih starih časih, pred davnimi leti, ko je bil Blog z Vsebino še mlad, je imel tedaj še mladi umetnik zamisel, da bi pisal o letnih časih. V tovrstnih zapisih je mogel v polnosti izraziti svojo pristno povezanost z naravo, sončnimi cikli, ekvatorialno ravnino, rastlinstvom, živalstvom in preostalo živo in neživo naravo, še posebej pa s svojim notranjim Jazom. Njegova strast ga je nekoč privedla celo tako daleč, da je o vsakem izmed štirih letnih časov, Zimi, Pomladi, Jeseni in Poletju, zložil duhovito pesmico, ki je opevala vse zgoraj naštete vrline, projecirane skozi prizmo vsakega izmed njih.

Projekcija. Z e. ProjEkcija. Ne projikcija! Projicirati? Pa kdo se tu norčuje!?

Spletni urejevalnik besedila je pravkar grobo prekinil visokoleteči tok poezije, ki je v prozni obliki kar vrel izpod mojih prstov, s tem, da je z ogabno rdečevijugavo črto podčrtal besedo “projecirane”. Meni namreč, da se besedo pravilno zapiše “projicirane”. Ne bom se opravičil in ne bom popravil. Dokler pod stropom visi projektor in dokler za ortonormalizacijo baze uporabljamo pravokotno projekcijo, se bo tudi glagol projecirati pisal z e! Od tega ne odstopam in za to sem pripravljen zastaviti tudi svoj znanstveni ugled!

Torej, ko je mladi poet tako neutrudno prelival vrline letnih časov v vrstice in rime, je le-teh počasi zmanjkalo, navdiha pa mu je ostalo še na pretek, saj se je ob opazovanju lepot narave v njegovem srcu porojeval znova in znova, prav tako kot voda v žuborečem gorskem studencu nikdar ne usahne, saj taleči zimski sneg vsako pomlad znova napolni podzemne rove in votline, ki nato skozi vse leto neutrudno napajajo živahni potoček, ki izpod skal bruha na plan. Nekega sončnega, rahlo oblačnega, hladno vetrovnega in skorajda deževnega aprilskega popoldneva se je tako domislil, da bi lahko svojo umetniško strast začel prelivati v čast in ponos posameznih mesecev, ki nas počasi, bolj postopno in ne tako surovo, v dvanajstih korakih privedejo skozi leto. Da pa se mu štrene ne bi zamešale že na začetku in da bi lahko svoj navdih črpal neposredno iz okolice, se je namenil Cikel začeti nekje na sredini, pri 4. mesecu v letu in drugem mesecu pomladi, pri aprilu.

April je moj najljubši mesec v letu. Ko mi kdo omeni april, se najprej spomnim na osnovno šolo, kjer nam je učiteljica povedala izrek “Aprila je vreme muhasto.” in nam pri tem brez kančka sramu zatrdila, da gre za star slovenski pregovor. Verjel ji nisem niti tedaj, danes, ko sem starejši in modrejši, pa se mi zdi njena trditev naravnost smešna. Ne gre za to, da bi v izreku ne bilo zrna resnice, pri njem me je zmotila zgolj uporaba besede muhasto. Saj z njo ni nič narobe, v resnici je kar čedna, samo verjeti ne morem, da bi jo uporabljali stari Slovenci. Za kaj takšnega se mi zdi preveč izumetničena in premalo klena, kot da ima nek jugoslovanski, socialistični pridih.

No, pa da ne zaidemo v debate o politiki, se raje osredotočimo na vreme, ki je torej aprila muhasto. To pomeni, da se rado spreminja, da se lahko že v parih minutah iz sončnega prelevi v deževno, iz toplega v hladno, iz oblačnega v jasno, prav tako kot muha, ki leta po sobi in išče ostanke hrane, ki jih je skrbna gospodinja morda ponevedoma pozabila pobrisati s kuhinjskega pulta, ko je končala s kuhanjem kosila za svoje lačne malčke. Letošnje leto se mi zdi zelo zanimivo, saj se je v začetku marca pričelo obdobje zelo sončnega in toplega vremena, da bi ja kdo ne pomislil, da se zima še ni zares poslovila. Meteorologi so govorili celo o suši. Ko pa je v deželo na krilih precesije zemeljske osi prijadral april, se je vreme nenadoma spremenilo in postalo muhasto. Včeraj je recimo padal dež, danes pa je bilo zjutraj najprej oblačno, dopoldne se je razjasnilo, ravno ko se človek spravi iz službe, pa so se na nebo zgrnili temni oblaki in z vetrom pospremili ohladitev, ki so jo le sem in tja zmotili zlati sončni žarki, ki so tu pa tam pokukali skozi temni zastor kondenzirane vodne vlage. Pravi april.

Na tem mestu lahko bralci pričakujejo rahlo nezveznost v slogu in/ali vsebini, saj je umetniška stvaritev prišla do točke, ko umetnik zgubi štreno, ali lepše rečeno, rdečo nit, ki si jo je pred začetkom pisanja ustvaril v glavi, in preide v improvizacijski način pisanja, za katerega pa je težko vnaprej napovedati, kaj lahko prinese končnemu izdelku. Zaenkrat imam občutek, da se bo to poznalo predvsem na vsebini, saj sem s slogom precej zadovoljen in bi ga silno nerad spreminjal. Samo neko smiselno tematiko bo treba poiskati. April je čas, ko v sadnih vrtovih širom Ljubljanske kotline vzcveti sadno drevje. Marelice in breskve so pri tem nekoliko izjemne, saj cveto že prej, jablana, hruška in sliva, te najbolj tipične predstavnice sadnih nasadov zmernih geografskih širin osrednje Evrope, pa svoj čas slave dožive prav v aprilu. K temu botruje predvsem njihova narava, ki se je skozi stotine milijard let evolucije preoblikovala na takšen način, da se njihov letni cikel rasti obrne njim v prid. Za razliko od svojih sestričen marelic, ki so zavoljo zgodnjega cvetenja močno izpostavljene morebitni pozebi v drugi polovici marca, se jablane temu tveganju v veliki meri izognejo, kljub temu pa so še vedno dovolj zgodne, da topli maj in ostale poletne mesece v polnosti izkoristijo za rast in razvoj sočnih plodov. Tovrstna narava jablan, hrušk in sliv se odraža tudi v načinu njih nege. Omenjeno drevje namreč obrezujemo zgodaj spomladi, običajno v marcu, saj na ta način prehitimo brstenje, hkrati pa občutljivih ran, ki jih z rezom prizadenemo nemočnemu drevesu, ne izpostavimo premočno morebitni pozebi, ki vse do prve tretjine maja, ko jo končno odženo slavni Ledeni možje, zahrbtno preži na morebitne šibke točke v imunskem sistemu drevesa.

Aprilsko vreme z mavrico. O njej smo v razpravi pozabili pisati.

Jablano lahko obgrize tudi srnjak, čemur se lahko izognemo z ograjo ali premazom mladega drevesa z apnenim nanosom, ali pa ji korenine pozobata voluhar, o katerem na Blogu z Vsebino še nismo pisali, a bo bržkone potrebno, in bramor, o katerem je bilo na Blogu z Vsebino povedanega že dovolj, pred čimer se lahko zaščitimo z drobno podzemno žičnato mrežo, ki jo ovijemo krog korenin drevesa.

April je mesec, ko daljšanje dneva v polnosti pokaže svoje zobe. Ne pozabimo, 21. marca se sončnemu sistemu pripeti enakonočje, kar pomeni, da dan končno postane daljši od noči, za nameček pa svoje pridoda še umetno sprožena prestavitev ure, ki nam večere podaljša za 1 uro. April je prav zato kot nalašč za pričetek uresničevanja novoletnih zaobljub o povečanju fizične aktivnosti in intenzivne priprave za poletno sončenje na plaži.

Tako, o aprilu smo zapisali marsikaj, marsikaj pa smo tudi izpustili. April je pravzaprav kar dolgočasen mesec in če bi ga ne rešilo moje poznavanje slovenskega jezika in letnih ciklov sadnega drevja, bi mu trda predla. A glavno je, da smo izpolnili predpisano kvoto 1000 besed/razpravo, tako da lahko na tem mestu mladi umetnik končno odloži pero in pomirjen leže spat.

A glej ga zlomka, nekaj je pa le pozabil … Pesmico, seveda! Pesmico, ki izvira iz stare in že uveljavljene navade, da se vsaka kakovostna razprava konča z njo, nikakor pa ne pesmice, ki bi sestavljala cikel pesmi, poimenovanih Pesmi o mesecih. To nam morda prinese prihodnje leto.

Takole se glasi:

Àkrostih bo pesem to otvoril,
Prekratka bo, da z njo bi komu dvoril.
Resnico o aprilu bi potvoril
In sebi slabo bi uslugo storil
Le če bi tole pesmico končal na slab način.

Objavljeno v Najboljše stvari, Poezija, Visoka znanost | Tagged , , , , , | Komentiraj

Eksperiment št. 14

I. INTRODUCTION

Redko se pripeti, da se vse naravne in družbene danosti tako očitno obrnejo v prid umetniškega ustvarjanja in vodijo stopinje mladega umetnika k pisanju razprave, kot se je to zgodilo danes. Uvod bo zato tokrat izjemoma nekoliko daljši.

Danes je v deželo tudi po koledarskem štetju prišla botra Pomlad. Sicer je dobro znano, da se na koledarsko določanje prehodov letnih časov požvižgam, vendar se mi kljub temu zdi lepo, da se na današnji dan o pomladi govori več kot običajno. Svoj lonček je k temu veselemu praznovanju pristavilo tudi sonce, ki je s svojimi bleščečimi sončnimi žarki neutrudno grelo od zime premraženo zemljo, prav tako kakor tudi plinski grelec s svojimi toplimi ognjenimi zublji greje posodo vode, iz katere si od mraza in vetra utrujeni popotnik skuha skodelico čaj ali juho, odvisno pač od tega, kaj mu  bolj tekne in kaj ima takrat pri roki. Tako kot se v sončnem jedru pod neznanskimi tlaki stotin milijard Paskalov in pri neznanskih temperaturah na stotine milijard Kelvinov plin vodik prek procesa jedrskega zlivanja ali fuzije zliva v helij in pri tem oddaja neznanske količine na stotin milijard Wattov energije, ki prek neznanskih razdalj na stotin milijard metrov potujejo v obliki elektromagnetnega valovanja prek praznine Vsemirja na Zemljo, kjer ženejo procese rasti in pomladnega brstenja ter zelenenja, tako tudi na plinskem štedilniku mešanica plinov propana in butana prek kemijskih reakcij reagira z okoliškim kisikom v kot ogenj vroč plamen, ki s svojimi bleščeče modrimi zublji objema kotliček juhe ali skodelico čaja, morda pa le dno na novo kupljene aluminijaste kafetjere za 6 oseb, ki jo je mladi umetnik danes za 15 evrov kupil v maksijevem podhodu, da bo lahko jutri zarana v njej skuhal 2 skodelici opojno dehteče kave, zase in za tovariša, ki se mu šele včeraj, na zadnji nepomladni dan pridružil na delovnem mestu.

II. THEORETICAL BACKGROUND

Prav zagotovo se vsak človek na svetu ves čas neprestano sprašuje, koliko toplote pravzaprav oddaja plamen plinskega gorilnika, omenjenega v prejšnjem odstavku. Mati si beli glavo s tem vprašanjem, ko kuha kosilo za svoje lačne otroke, saj nikdar ne ve, koliko časa bo še preteklo, preden bo voda na štedilniku končno zavrela in ji omogočila pripravo prepotrebne jedi za množico lačnih ust. Mladi znanstvenik tiho joče ob štedilniku, ko se zaman vprašuje, kdaj bo že vendar kuhana kava, ki mu je še prehudo potrebna, da ga končno prebudi iz omotice poznega večera in mu omogoči nadaljnje pisanje članka. Mojstru pivovarju razjeda srce črv dvoma, ko potrpežljivo čaka, da mali modrikasti plamenčki končno segrejejo vodo v kotlu na težko pričakovanih 62 stopinj in pol po Celzijevi lestvici, da bo vendar že končno lahko del vanjo ječmenov slad in sprožil prepotrebno encimsko katalizirano reakcijo pretvorbe škroba v sladkor, iz katerega bodo lahko lačne kvasovke izfermentirale težko pričakovani etanol.

Slika 1: Mali in veliki plamen gorilnika skrivnostno žarita v temi.

Vidite, koliko nesrečnih zgodb bi lahko preprečili, če bi le poznali toplotno moč plinskega štedilnika in nekaj osnovnih termodinamskih enačb za izračun toplote, potrebne za segrevanje in izparevanje vode. Da bi razrešil to pereče vprašanje sem se nedolgo tega odločil, da naredim Eksperiment.

III. EXPERIMENTAL PROCEDURE

Eksperiment sem naredil tako, da sem na plinskem štedilniku segrel in izparel dobro določeno količino vode. Za eksperiment sem uporabil običajno vrsto plinskega štedilnika Gorenje, ki ga lahko najdemo tudi v mojem stanovanju. Štedilnik ima dve rinki za plin, večja ima premer 10 cm, manjša pa 5 cm. Ta podatek navajam zato, ker želim pokazati, kako zelo znanstveno sem se lotil Eksperimenta. Če nam bo sreča naklonjena, bomo lahko iz navedenih dimenzij sklenili, kolikšna bi bila toplotna moč plinskega štedilnika z rinko poljubnega premera. Na tem mestu se mi zdi primerno priznati, da še nisem opravil vseh ustreznih izračunov na surovih podatkih, pridobljenih iz Eksperimenta, in da je zato zelo verjetno, da se v razpravo prikradejo razne neumnosti, ki pa jih seveda nimam namena naknadno popravljati, saj to umetniškemu ustvarjanju odvzame vso zabavo. Če bom res napisal kakšno neumnost, bom nanjo opozoril kasneje, vsekakor pa bi moralo biti do konca tega zapisa bolj ali manj jasno, kako stvari stojijo in kaj. Skratka, plamenčki iz rinke izhajajo po njenem obodu, kar pomeni, da se z večjim obsegom rinke linearno povečuje tudi število plamenčkov, iz česar sklepamo, da bo toplotna moč večje rinke, ki ima dvakrat tolikšen premer ter posledično tudi obseg kot manjša rinka, dvakrat večja kot toplotna moč manjše rinke. Seveda se tu pojavi vprašanje velikosti posamičnih plamenčkov, ki so po mojem izkustvu pri večji rinki večji kot pri manjši, in to nam utegne kasneje še mešati štrene. Aja, pa še tole, nisem prepričan, če se stvar, ki jo poimenujem z “rinka” res imenuje tako, ampak zdi se mi, da sem nekje enkrat že slišal ta izraz in mi je všeč in ga bom zato uporabljal tudi v prihodnje, sicer pa se je nemara tudi bralec sedaj že navadil nanj in menim, da dobro razume, kateri kos štedilnika želim z njim opisati. Rinka pač.

Takole, bomo šli kar počasi v nov odstavek. V svojem Eksperimentu sem meril efektivno toplotno moč plinskega gorilnika. To pomeni, da dopuščam možnost, ah kaj možnost, celo prepričan sem v to, da se je nekaj toplote, ki jo je gorilnik oddal, izgubilo v okolico in je zatorej nismo mogli izmeriti. Ampak s tem ni nič narobe. Ker je eksperiment zasnovan tako, da čim bolj verno reproducira dejanske razmere, na katere naletijo Mati, Znanstvenik in Pivovar pri svojem delu, je podatek o efektivni moči točno to, kar omenjene persone potrebujejo, da se odrešijo svojega trpljenja in negotovosti. Eksperiment sem namreč izvedel takole. V ponev, v kateri običajno kuham rižoto ali v njej pripravljam raznorazne omake, sem natočil 200 g vode. Vodi sem izmeril temperaturo, nato pa sem jo nemudoma poveznil na večjo rinko prej omenjenega plinskega štedilnika, ga prižgal ter plamen naravnal na največjo možno hitrost izgorevanja, da je kar bučalo. V istem trenutku sem nenadoma sprožil tudi štopalno uro, s katero sem meril čas. Tu pa tam sem v vodo pomočil toplomer in odčital temperaturo T0=34,5° C, poleg tega pa sem si zabeležil čas, ki je minil od začetka segrevanja. Vse skupaj sem si beležil na lepilne listke, ki sem jih lansko leto zadel na novoletnem srečelovu za 2 €. Uporabil sem rumene listke v barvi sonca in toplote, prikazane na Sliki 2. Ker je bilo vode bolj malo, površina ponve pa je kar velika, je bila voda tako plitva, da so meritve temperature nekoliko negotove in se zato pri analizi rezultatov ne bom preveč oziral nanje. Voda v ponvi je kaj kmalu zavrela in pričela veselo brbotati, kar sem si zabeležil na listek kot čas t1. Voda je kar brbotala in brbotala, vse manj in manj jo je bilo, sam pa sem radovedno pogledoval na uro in se spraševal, kdaj bo vsa tekočina pošla. To se je zgodilo po 7 minutah in 48 sekundah.

Slika 2: Surovi eksperimentalni podatki.

IV. DATA ANALYSIS

Zdaj pa uporabimo prgišče svojega obsežnega fizikalnega znanja, ki smo si ga oplemenitili celo s študijem na univerzi, in se vprašajmo, kaj nam navedeni podatki povedo. Za segrevanje vode z začetne temperature do vrelišča smo potrebovali toploto, ki je enaka zmnožku razlike med končno in začetno temperaturo, torej 65,5° C, mase vode 200 gramov in specifične toplote vode 4200 Joulov na kilogram na Kelvin, kar skupno nanese kar neverjetnih 54758 Joulov energije. A to še ni vse! Po segrevanju vode do vrelišča smo vso tekočino še izpareli, kar zahteva dodatno energijo, enako produktu mase vode 200 gramov ter njene izparine toplote, ki znaša zajetnih 2257000 Joulov na kilogram, to pa na koncu nanese dodatnih 451400 Joulov energije, kar je prav toliko kot 451,4 kilo(!) Joule energije. Skupno je torej plinski gorilnik vodi dovedel 506,158 kilo Joulov energije, to pa je storil v 468 sekundah, iz česar jasno sledi, da je gorilnik grel vodo z efektivno toplotno močjo

1081.53 Wattov.

To je malo več kot kilo Watt. Meni osebno se zdi to kar primerna številka. Dovolite mi, cenjeni bralci, da vas še enkrat opozorim, da gre za efektivno toplotno moč, ki jo dosežemo, če kuhamo vodo v ponvi. Kar pomeni, da je številka kar primerna za vsakdanje aplikacije.

Ampak to še ni vse! Še pomnite, kako smo pisali, da ima štedilnik dve rinki, eno veliko in eno majhno. Seveda mi radovednost ni dala miru in identičen eksperiment sem želel izvršiti še na manjši rinki. “Želel, želel, malo nas briga, kaj si želel!” si že predstavljam v svoji glavi glas iz publike, ki bi ga bilo brez dvoma slišati, če bi eksperiment predstavljal v govorni obliki. “Povej nam, kaj si storil v resnici! Pha, želel, želel, tudi svinja si želi koruze, pa se le redko dokoplje do nje. Morda v svojih sanjah, v resničnosti pa niti po pomoti!” Torej ko sem isto ponev z isto količino vode postavil na manjši gorilnik, le-ta ni niti zavrela. Pojavili so se sicer neki mehurčki, ampak niso nič brbotali, zato sem sklenil, da se skozi veliko površino ponve izgublja toliko toplote, da mali in slabotni gorilnik ne more vzdrževati niti temperature 100 stopinj Celzija, kaj šele, da bi vodo prisilil v brbot. Nevšečnost sem rešil po salomonsko. Vzel sem ponev s štedilnika in prelil njeno vsebino v kozico za kuhanje kave, tako imenovano đezvico. “Kdo neki bi sploh pomislil na to, da bi vodo nalil v tako orjaško ponev, nato pa jo del na malo rinko?” sem dejal sam pri sebi, ko sem količino vode v kozici dopolnil do 200 gramov, ji izmeril temperaturo T0=51,5° C, “prižgal” plin ter zagnal uro štoparico. In glej ga zlomka, minilo ni niti t1=4 minute, ko je voda v kozici že veselo brbotala in izparevala pri temperaturi vrelišča 100 stopinj Celzija.

Izkaže se, da je toplotna moč manjšega gorilnika manjša od toplotne moži velikega gorilnika, saj je za popolni izpar vode porabil kar neverjetnih 30 minut in 50 sekund. Če podatke za drugi del eksperimenta obdelamo na enak način kot prej za veliki gorilnik, izračunamo, da je moč manjše rinke Gorenjevega plinskega štedilnika

265,9 Wattov.

V. RESULTS AND DISCUSSION

Takole na palec bi človek ocenil, da je moč manjšega gorilnika 4-krat manjša od moči večjega gorilnika ob le 2-krat manjšem premeru, kar pomeni, da toplotna moč plinskega gorilnika narašča s kvadratom premera. Za izračun efektivne toplotne moči poljubno velikega plinskega gorilnika lahko torej uporabimo empirično enačbo

P_{eff}(R)= 42 \frac{W}{cm^2} R^2,

kjer R predstavlja radij rinke plinskega gorilnika. Koeficient sorazmernosti je kot običajno 42. Tako, pa smo se naučili nekaj novega. Niti sam nisem pomislil, da bo na koncu rezultat tako lep in popoln.

Slika 3: Zajem podatkov z manjšega gorilnika polmera R=2,5 cm.

VI. CONCLUSION

Vendar pa zgodba s tem še ni končana. Danes je namreč svetovni dan poezije, zato bi ne bilo prav, ko bi prav današnji razpravi umanjkala zaključna pesmica. Danes bo govorila o plinu, imenovala pa se bo Plinski gorilnik, kar bo povedal tudi njen akrostih.

Plin najčistejši je vir energije,
Lepo po ceveh se priteka do nas.
In potlej kot plamen iz rinke zasije,
Nikoli ob plinu ne zeblo bo nas!

Sijaj, oj sijaj, plamenček ti zlati,
Knedeljčke skuhaj s svojo močjo,
Iskro otrokom povrni v oko.

Gospodarstvo ti Rusije matere ženeš,
Oh, na cedilu ne pust’ je nikdar.
Raje pogrej nas, kot da žalostno veneš,
In političnih igric ti nič ne bo mar.

Lakota stiska, če juhe ne skuhaš,
Ne, sama se skuhala juha ne bo.
Iz rinke plamene goreče ti bruhaš,
Ko si ob meni, vse dobro bo šlo.

Objavljeno v Visoka znanost, Poezija, Kako stvari delujejo | Tagged , , , , , , , , | Komentiraj

Topologija magnetkov

Naslov današnje zgodbe je bržkone napačen, saj verjetno pri vsem skupaj sploh ne gre za topologijo, ampak za kaj drugega. Besedo topologija sem izbral zato, ker fiziki ob prostem času stvari v prostoru, ki jih ne razumemo ali pa ne znamo elegantno matematično opisati, poimenujemo topologija. Če stvari razumemo, rečemo, da je to geometrija. Skratka, glede pravilnosti naslova se obrnite na najbližjega pooblaščenega matematika in ta vam bo povedal besedo ali dve o fizikih. Zgodba pa se glasi takole.

Pred leti sem od prijateljev za rojstni dan dobil magnetne kroglice premera približno 4 milimetre, izdelane iz močno magnetne snovi. Njen magnetizem je tako močan, da lahko kroglice zlepi skupaj in to nam omogoča, da iz njih izdelujemo razno razne strukture. Za nameček je magnetna snov, iz katere so kroglice izdelane, prekrita s prevleko iz bleščeče srebrne kovine, ki kroglice naredi sila privlačne na pogled in kar kliče po tem, da jih za rojstni dan podarimo nadebudnemu iziku. Če se le-ta z njimi predolgo igra, se na severnem in južnem polu magneta, kjer se kroglica najmočneje lepi na druge magnetne kroglice, bleščeče srebrna kovina odlušči in je tam ni več. Ne želim podati subjektivnega mnenja, kako pojav vpliva na samo estetiko kroglic, se pa izkaže, da je zavoljo tega iz magnetkov še laže graditi strukture kot prej. Ampak to v resnici sploh ni pomembno za današnjo zgodbo.

magnet6

Enostavna 6-strana magnetna struktura.

Ena najenostavnejših struktur, ki jo lahko izdelamo iz magnetkov, je heksagonalna oziroma 6kotna mreža, ki jo lahko vidimo na eni izmed slik. Mrežo izdelamo tako, da najprej 6 magnetkov povežemo v obroč, nato pa okrog njih izdelamo večji obroč iz 12 magnetkov, okrog njega še večjega iz 18 magnetkov in tako dalje, dokler ne izdelamo n-tega obroča, ki vsebuje 6 x n magnetkov. Pri tem opazimo, da strukturo lahko položimo na ravno površino mize, saj tudi sama leži v ravnini. Zakaj je temu tako? Odgovor ne bo dobro matematično formuliran, ampak z opazovanjem slike boste ugotovili, kaj imam v mislih. Skratka, ko obroče kot opisano nizamo enega okrog drugega, se magnetki urejajo v 6-kotno mrežo, ki kroglicam omogoča, da se kar se da tesno prilegajo ena k drugi. Če miselno sledimo poteku vsakega obroča, tako da s prstom drsimo po kroglicah in pri tem opazujemo, kaj se nahaja pod njim, spoznamo, da veriga kroglic, iz katere smo sestavili obroč, na vsakem vogalu tvori kot 120°. Če poznamo enačbo za vsoto notranjih kotov n-kotnika v ravnini lahko zlahka izračunamo, da prav toliko znaša tudi vsak notranji kot pravilnega šestkotnika v ravnini, sicer pa moramo to ugotoviti z zdravo pametjo. Ker smo za tvorbo svoje strukture uporabljali prav šestkotnike, bo naša mreža ravninska in vse se lepo izide.

magnetki6-1

6, 5, 4, 3, 2 in 1-števna magnetna struktura. Te strukture spadajo v kategorijo kroglastih struktur.

Kaj pa se zgodi, če strukture ne gradimo iz 6-kotnikov, marveč iz kakšnih drugih n-kotnikov, recimo na primer 5-kotnikov, kjer znaša vsak notranji kot 108°? Če se na enak način kot prej lotimo zgradbe 5-kotne strukture, spoznamo par zanimivih stvari. Ker obroče še vedno nizamo tesno enega ob drugega, bodo notranji koti vsakega obroča, gledano lokalno glede na okoliške magnetke, še vedno znašali 120°, saj se kroglice tako najlepše uredijo. Ko to spoznanje združimo s poznavanjem notranjega kota petkotnika, ugotovimo da gre za prevaro. Opisane strukture namreč ne moremo omejiti na dvorazsežno ravnino, ampak je le-ta ukrivljena, kar privede do stožčaste oblike. Do podobnega rezultata pridemo tudi, če uporabimo 4-, 3- ali 2-števne obroče, le da je struktura vse bolj in bolj stožčasta. Pojav postane še bolj zanimiv in praktično uporaben, če se od čarobnega števila 6 odklonimo v drugo, večjo smer. V primeru, da imamo opravka s 7-stranim obročem, bi morali namreč njegovi notranji koti znašati vsak po 128,57…°, kar je več kot notranji kot 6-kotnika. Podobno kot v primeru petkotne strukture se tudi tokrat izdelana ploskev odkloni od ravnine, a ne v stožčastem, marveč v sedlastem pomenu besede. Enako velja tudi za 8-, 9-, 10- in 11-števno strukturo.

magnet6-11

6, 7, 8, 9, 10 in 11-števna magnetna struktura. Te strukture spadajo v kategorijo sedlastih struktur.

Na tem mestu bi bilo primerno zapisati matematični opis tega pojava, ampak v resnici ne razumem prav dobro, kako se to izračuna. Domnevam, da gre pri vsem skupaj za dobro staro modrost, ki pravi, da je vsota notranjih kotov trikotnika na krogli manjša od 180°, na sedlu pa večja kot 180°, le da smo to v našem primeru izvedli za nek drug n-kotnik. V resnici je na opisani strukturi enostavno opazovati le kotnike z notranjimi koti 120°, ker je ta kot tako lepo skladen s krogličasto strukturo, potem pa ne koncu preštejemo, koliko vogalov je bilo potrebno, da smo prišli naokrog, namesto da bi si vnaprej izbrali število vogalov in seštevali notranje kote. Zanimivo je opazovati, kaj se zgodi, če v mislih potujemo z enega magnetka na drugega in si pri vsakem ovinku zapomnimo, kolikšen notranji kot smo naredili. Če takšno zanko ustvarimo tako, da ne vsebuje središča strukture, zanjo porabimo 6 zavojev po 120° za vsoto notranjih kotov 720°, kar je tako, kot da bi potovali v navadni ravnini, če pa potujemo okrog izhodišča, pa potrebujemo zgolj 5 zavojev (na petkotni strukturi seveda), kar nanese vsoto notranjih kotov 600°, kar je več, kot pričakujemo od petkotnika v ravnini, kjer naj bi vsota nanesla 540°. Podoben poizkus lahko naredimo tudi s trikotnikom, ki bo, če vsebuje izhodišče, imel vsoto notranjih kotov 240° namesto običajnih 180°  v ravnini. Štirikotnik ima 420° namesto 360°. S pomočjo nepopolne indukcije smo pravkar pokazali, da ima vsak n-kotnik na 5-kotni strukturi vsoto notranjih kotov za 60° več kot v ravnini. Naključje? Mislim da ne. Sedaj bom malo pogumen in bom dejal, da ima vsak n-kotnik na m-števni strukturi, ki objema njeno središče, vsoto notranjih kotov

\sum_{i=1}^n \phi_i = (n-2) \times 180^\circ - (m-6) \times 60^\circ.

Bralec naj za vajo sam preveri resničnost zapisane trditve. Po mojem mnenju se vzrok za takšno obnašanje skriva v tem, da je v izhodišču strukture metrika nekako lokalno spremenjena in je prostor zato tam ukrivljen. Drznil bi si celo zapisati, da središče strukture prebada Diracova struna.

magnet5-all

Raznorazni n-kotniki na 5-števni strukturi. Vidimo, da 6-kotnik, ki ne objema Diracove strune, izkazuje takšne notranje kote kot na ravnini, medtem ko ga trikotnik in 4-kotnik, ki objemata struno, kar se tiče notranjih kotov malo biksata.

Domnevam, da je bralec že sprevidel, da v resnici ne razumem prav dobro, o čem govorim in da tega ne znam matematično formulirati, da pa me stvar zanima. Zanima me tudi poezija, zato bom sedaj napisal pesem o topologiji magnetnih struktur.

Trikotna magnetna struktura je,
Okrog svojega izhodišča suče se.
Predrugači se notranjih kotov vsota,
Občudujem pojav ta, res je lepota.
Le urno strukturo sestavimo vsi,
Oglejmo in dobro analizirajmo jo si.
Gibalo razvoja so močni magneti,
Izumitelj prav vsak ima svojega v kleti.
Jabolkom sočnim tam dela naj družbo.
A kaj bo počel, ko bo moral v službo?

Magnetni celo ima Zemlja svoj pol,
A morje v sebi ima svojo sol.
Gradnja magneta je težko opravilo,
Ne da niti časa, da grem na kosilo.
Ekvator in encijan, edina pijača
Takrat v žile pogum mi ovrača.
Nikdar si jaz ne bi mislil tako,
In potem vse drugače po svoje je šlo,
Hitro, le hitro storimo tako.

Strukture pomembno so svetu darilo,
Tudi če včasih so zgolj le mašilo.
Rubidij samosvoj zemeljski element je,
Ukvarjali tukaj z njim ne bomo mi se.
Kitica ta se počasi izteka,
Tudi prejšnja tako nekako poteka.
Uzamimo še zadnjič v roke magnet,
Radostno veselimo topologije magnetnih struktur vsi skupaj se spet.

Objavljeno v Kako stvari delujejo, Kvantna mehanika, Najboljše stvari, Poezija, Visoka znanost | Tagged , , , , , , , | Komentiraj

Apno

Spet je tu četrtek in kot je v navadi, bom danes napisal novo razpravo. Govorila bo o apnu.

Takole izgleda apno.

Takole izgleda apno.

Apno je moj najljubši gradbeni material. Je bele barve in uporabljamo ga za mešanje malte ali pa tudi kakšne druge stvari, na primer beljenje sten. Lahko bi še na dolgo in široko našteval, za kaj vse ga lahko uporabljamo, ampak to ne bi imelo kakšnega posebnega smisla, razen mojega bahanja z znanjem, ki ga posedujem. Apno mi je še posebej mi je všeč zato, ker iz njega lahko naredimo tudi kamen. A več o tem kasneje.

Zakaj sem se sploh odločil, da pišem o apnu? Moj brat prenavlja hišo, v katero se jeseni namerava preseliti s svojo družino, in odločil se je, da bo pri obnovi uporabljal tudi malto. Nekega dne me je povabil, da bi pomagal pri obnovi hiše in uporabi malte, in doletela me je čast, da z njo polnim luknje v stenah, ki so tam ostale po vgradnji oranžnih plastičnih cevi za elektriko. Dela sem se z veseljem lotil, a kot se običajno zgodi, ko se človek loti početja, katerega ni uk, mi je šlo frajhanje, kakor se z lepo kleno slovensko besedo tudi lahko poimenuje opisano početje, bolj slabo od rok. Tako je mislil predvsem moj brat, sam pa se seveda z njim nisem strinjal in prišlo je do zanimive razprave o tem, kako pravilno nanašati malto v odprtine, ki jih želimo zapolniti. Sam sem bil mnenja, da ni prav nič važno, kako malto nanesemo, dokler je končni izdelek primerne oblike, brat pa je neizprosno vztrajal pri tem, da je malto treba v špranje metati, ne pa jo tja enostavno potiskati s kelo, kot z lepo kleno slovensko besedo običajno poimenujemo zidarsko lopatko. Njegov glavni argument je bil, da se to tako dela in da je tako prav in da tako trdijo tudi vsi zidarski mojstri, moj protiargument pa je bil, da je njegov argument slab. Debata se je končala tako, da sem delal po njegovo in slabo zafrajhal, kar je bilo treba zafrajhati, kar mi je brat kasneje tudi sam priznal. A nič ne de.

Mojster zidar je iz peska, vode, apna in cementa zmešal malto, iz katere bo zgradil hišo.

Mojster zidar je iz peska, vode, apna in cementa zmešal malto, iz katere bo zgradil hišo.

Naslednjič sem bratu pomagal pri prenovi hiše, ko je na stene nanašal fin omet, ki ga je izdelal iz mešanice apna, vode in finega peska. Tokrat se nisva nič sporekla, saj sem smel omet mazati neposredno na stene in mi ga ni bilo treba metati tja s kelo. To mi je dalo misliti, posebej pa me je presunilo, da je brat ob koncu napornega delovnega dne neporabljeni omet pustil v zidarskem ajmarju in čezenj nalil zgolj nekaj prstov vode rekoč: “Še nekaj prstov vode, da se omet ne strdi.” Moj analitični um je naslednjih nekaj tednov vneto mlel doživeta doživetja in iz njih izluščil tri bistvene stvari: za polnjenje lukenj malte ne smemo basati vanje neposredno ampak jo moramo vanje metati, omet lahko na steno mažemo neposredno, plat vode nad neporabljeno maso za ometom pa prepreči njegovo strjevanje. Ker malta in omet vsebujeta apno, se moramo za odgovor na to nenavadno zagonetko  kot ponavadi obrniti na teto Wikipedijo in jo povprašati, kaj apno pravzaprav je in kako deluje.

Apna je več vrst. Kot pove že samo ime, apno pridobivamo iz apnenca, katerega sestavo nam poda njegova kemijska formula CaCO3. Po domače bi temu rekli kalcijev karbonat. V resnici apnenec ni v celoti zgrajen iz kalcijevega karbonata, ampak ima tudi primesi, ampak to v tem trenutku ni tako zelo pomembno, da bi bilo o tem potrebno izgubljati še več besed, kot smo jih že izgubili s pisanjem tega stavka, ki bi ga lahko izrazili precej bolj kratko in jedrnato, pa se njegovo poslanstvo s tem ne bi prav nič spremenilo; še več, če bi ga skrajšali, bi ta stavek, oziroma bolje rečeno poved, postal dosti bolj jasen in razumljiv. Apno pridobimo tako, da apnenec izpostavimo visoki temperaturi, kar običajno naredimo v posebnih pečeh, v katerih se tovrstna temperatura lahko razvije. Ko govorimo o visoki temperaturi, imamo v tem primeru v mislih predvsem temperaturo nad 550° C in pod 1050° C. Kot zanimivost povejmo, da se kalcijev karbonat stali pri temperaturi med 825 in 1339° C, odvisno, kakšna natančno je njegova kristalna sestava. Ta podatek nam bo prišel prav v eni izmed naslednjih razprav, ki bo še posebej zanimiva. No, kje smo že ostali? A seveda, že vem. Torej, apnenec v posebni peči grejemo na visoki temperaturi, pri čemer kalcijev karbonat razpade in se pretvori v kalcijev oksid, ki mu kemiki pravijo CaO. Če od CaCO3 odštejemo CaO, ugotovimo, da pri tem nastaja še ogljikov dioksid. Kalcijev oksid oziroma njegov približek, ki ga dobimo pri segrevanju apnenca, imenujemo žgano apno in to je prva vrsta apna, ki jo bomo danes spoznali.

Žgano apno je zelo korozivna snov in nam lahko najeda kožo, če pridemo v stik z njim. Le kdo ne pozna zgodbe o pastirčku iz Postojne, ki je zmaju, da bi se ga odkrižal, v ovčje truplo natresel žganega apna in mu ga dal jesti? Zgodba se seveda konča tragično, saj se je zmaj kasneje napil vode in s tem v svojem želodcu sprožil pravo malo kemijsko reakcijo, ki pa je v dotičnem primeru zelo bujna in slabo vpliva na prebavila. Reakcija pa ni vezana na okolje, v katerem se zgodi, in žgano apno lahko zalijemo z vodo tudi tako, na prostem ali v posebnem industrijskem objektu za pridelavo gašenega apna. Da, prav ste sklepali, če žgano apno pogasimo z vodo, nastane gašeno apno. “Kakšna pa je kemijska formula te vrste apna?” me boste vprašali. “I, kakšna, Ca(OH)2 seveda!” kot da bi sešteli formuli žganega apna in vode. Gašeno apno pa je hkrati prav tisto apno, ki ga uporabljamo v gradbeništvu.

Apnenčni krog. Domača naloga: preberi razpravo in zamenjaj angleške izraze z ustreznimi slovenskimi sopomenkami!

Apnenčni krog. Domača naloga: preberi razpravo in zamenjaj angleške izraze na sliki z ustreznimi slovenskimi sopomenkami!

“Vse lepo in prav, ampak apno, ki ga uporabljamo v gradbeništvu, ima obliko belkastega prahu, kar ni prav nič podobno snovi, ki smo jo pravkar polivali z vodo,” porečete. Drži, a zavedati se moramo, da gre pri gašenju apna za kemijsko reakcijo, pri kateri se voda veže v molekulo gašenega apna in pri tem porabi. Tako lahko z natančnim reguliranjem dodane vode natančno določimo, ali bo končni produkt praškaste, pacavaste ali vodene oblike. In točno to v tovarni gašenega apna tudi počno. Meni osebno je najbolj všeč, če je gašeno apno praškaste oblike, ker se ga tako lažje vdihava. Pri tem moramo biti seveda pozorni, da ponevedoma ne vdihnemo žganega apna, ker le-to zaradi svoje korozivnosti škodi pljučem. Šalo na stran, pogovorimo se raje o tem, kaj naredi gašeno apno tako nepogrešljivo v gradbeništvu.

Za trenutek zaprimo oči in pomislimo, kaj bi se zgodilo, če bi gašenemu apnu prišteli molekulo ogljikovega dioksida, ki jo je apnenec izgubil pri žganju, in odšteli molekulo vode, ki jo je žgano apno prejelo pri gašenju. Da, prav imate, dobili bi natančno kalcijev karbonat, s katerim smo začeli naš čarobni apneni krog. Kar pa je pri vsej stvari najbolj pomembno pa je to, da se tovrstni proces odvija sam od sebe, če gašeno apno pride v stik z ogljikovim dioksidom, ki ga je v ozračju na pretek. Če torej gašeno apno zmešamo s peskom in vodo in počakamo, da se apno poveže z ogljikovim dioksidom, dobimo trdo snov, sestavljeno iz delcev peska, ki jih med seboj povezuje kamnina kalcijev karbonat in ki je približno tako trdna, kot je bila, preden smo iz nje izdelali apno. Pravi čudež!

Z znanjem o apnu, ki smo ga pravkar pridobili, se vrnimo na problematiko ometavanja in malte in podobnih zidarskih stvari ter si odgovorimo na vprašanja, ki sva jih z bratom tako vneto premlevala med obnavljanjem hiše. Malta je sestavljena iz peska, apna, cementa in vode in kot smo spoznali, se apno strdi samo v primeru, ko lahko reagira z ogljikovim dioksidom iz ozračja. Če malto torej bašemo v luknje namesto mečemo, pri tem nasilno uničimo mikroskopske mehurčke zraka, ki med mešanjem nastanejo v njej, zaradi česar se ne bo mogla strditi. Če pa malto mečemo tako, kot je treba, bo še vedno vsebovala zrak in v njej bodo pore, skozi katere bo lahko ogljikov dioksid strdil apno v apnenec. Takšen je torej odgovor na prvo vprašanje. Fini omet, ki sva ga z bratom kar neposredno mazala po stenah, pa je seveda nekoliko drugačne vrste kujon. Ker je nanešen v tankih slojih, bo lahko atmosferski CO2 vanj prišel tudi z difuzijo, zato je lahko lepo gladko namazan in to ne bo nič vplivalo na njegovo strjevanje. Problem nastane samo takrat, ko bi radi, da se strdi cela kepa apnenega gradbenega veziva. Odgovor na tretje vprašanje pa je sedaj seveda tudi jasen. V trenutku, ko je brat neporabljeno ometno maso zalil z vodo, je s tem ogljikovemu dioksidu preprečil dostop do apna, s čimer je preprečil njegovo pretvorbo v apnenec. Enostavno, kajneda!?

Tako kot žgano apno delamo pri visoki temperaturi, tako ima tudi lava, ki priteče iz ognjenika, visoko temperaturo.

Tako kot žgano apno delamo pri visoki temperaturi, tako ima tudi lava, ki priteče iz ognjenika, visoko temperaturo.

Kritičnemu bralcu pa se seveda še vedno zastavlja zelo pomembno vprašanje, s katerim sem se dolgo ukvarjal tudi sam, nazadnje pa mi je nanj odgovorila moja mati, ki je po poklicu profesorica kemije. Nikakor mi namreč ni šlo v račun, kako lahko po eni strani voda, ki jo nalijemo na ometno maso, z blokado dostopa ogljikovega dioksida prepreči njeno strjevanje, po drugi strani pa se apneni prah sam po sebi ne strjuje, čeprav je povsem jasno, da ima veliko stika z zrakom in lahko reagira z ogljikovim dioksidom kolikor mu je volja. Trik je v tem, da so zrnca apna, čeprav so zmleta precej drobno, še vedno precej velika glede na svojo površino in zato CO2 le stežka prodre v njihovo notranjost. Če želimo, da se pretvorba iz apna v apnenec dogaja vsaj približno dovolj hitro je zato nujno, da se apno raztopi v vodi, s čimer ga razcepimo na kalcijeve in hidroksidne ione. V vodi se raztaplja tudi ogljikov dioksid, pri čemer tvori karbonatne ione, ki se potem s kalcijevimi sparijo v kalcijev karbonat. Omenjeni kemijski objekti se v vodi obnašajo dosti bolj živahno in trodimenzionalno kot na površini apnenega drobca, zato bodo reakcije strjevanja potekale bistveno bolje v malti kot pa v suhem apnu. Seveda pa je pomembno tudi to, da je količina vode ravno primerna, da so v njej kalcijevi in karbonatni ioni dovolj koncentrirani za učinkovito reakcijo. Če malto na primer zalijemo z veliko količino vode, bo koncentracija karbonatnih ionov, ki nastajajo na površini vode, bistveno premajhna, da bi lahko poskrbeli za uspešno strjevanje apna na njenem dnu.

Tako, zdaj bo pa mogoče počasi dovolj. Za konec povejmo le še to, da podobno kot apno deluje tudi cement, ki se prav tako strdi, ampak to lahko naredi tudi v odsotnosti zraka. Sicer pa pri cementu ogromno stvari še ne razumemo, zato bomo o njem pisali kdaj drugič. Ravno nasprotno pa velja za pesmico, ki jo bomo napisali kar sedaj. Njen naslov je Apno, njen akrostih prav tako. Takole se glasi:

APNO

Apno gradbeni materjal je.
Prime skupaj, vse kar namažemo z njim, se.
Najbolje uporabljati skupaj s peskom v malti ga je.
Omet lahko iz njega namešamo, če kaj nam ostane ga še.

Objavljeno v Kako stvari delujejo, Najboljše stvari, Poezija, Visoka znanost | Tagged , , , , , , , , , , | 1 komentar

Meso

Meso je najboljša stvar na svetu. Lahko ga kuhamo, pečemo ali jemo, lahko tudi vse hkrati ali vsako stvar posebej. Meso mi je še posebej všeč zato, ker je zelo hranljivo in dobrega okusa. Vsebuje tudi zelo veliko beljakovin, ki jih naše telo potrebuje za obnavljanje mišic in pravilno delovanje.

O mesu smo na Blogu z Vsebino ob raznih priložnostih že mnogokrat pisali, na primer o tem, v kakšni ponvi ga lahko pečemo, v kakšnem odnosu sta si z jastogom, kako se od njega razlikuje tkivo ribe, kako se od tkiva ribe razlikuje tkivo tune, kako se od vsega trojega razlikuje tkivo konja, v kakšnem odnosu do naštetega je tkivo piščanca, zakaj ga ima rad Afriški lev in v kakšnih oblikah ga lahko denemo v sendvič, če naštejem le nekaj najpomembnejših razprav. Zagotovo pa se prav vsak človek na svetu neprestano iz dneva v dan vsak trenutek sprašuje, kakšna je razlika med rdečim in belim mesom. Odgovoru na to vprašanje bo namenjen današnji zapis.

Krava je sesalec, zato njeno tkivo sodi med rdeče meso. Seveda po tem, ko odraste.

Krava je sesalec, zato njeno tkivo sodi med rdeče meso. Seveda po tem, ko odraste.

Rdeče in belo meso se razlikujeta po barvi. Kot sem nekoč že zapisal, je barv mnogo, med seboj pa se razlikujejo po tem, kako jih naše oko zaznava in katere izmed njih dajo barvo kateri vrsti mesa. Med slednjimi sta najpomembnejši bela in rdeča barva, če pa smo bolj širokega duha, lahko mednju prištejemo še svetlo in temno barvo, ki ju prav tako včasih uporabimo za opis mesa. Včasih omenjene barve uporabimo sopomensko, torej da z rdečim in temnim oziroma belim in svetlim mesom označimo eno in isto vrsto mesa, ampak to se ne zgodi vedno. Včasih mislimo tudi drugače.

Pa začnimo na začetku in koncu spektra. Definicija belega oziroma svetlega mesa so piščančja prsa, rdečega oziroma temnega pa govedina. Glede tega obstaja širok konsenz, vmesno območje pa je dosti bolj sivo oziroma rožnato. Razlog za to je, da je večina vrst mesa, rožnate barve, torej nekakšna mešanica bele in rdeče. Če belost oziroma rdečost mesa torej definiramo zgolj na podlagi vizualnega izgleda, se mora vsak človek sam pri sebi odločiti, na katero stran spektra bi postavil katero vrsto mesa. Kuhana piščančja prsa so seveda bolj ali manj bela, tu prostora za debato ni prav dosti, surova govedina pa je rdeča, konec besedi. Prav zato glede teh dveh vrst mesa ne prihaja do prepirov.

No, da ne bo vse skupaj izgledalo preveč podobno še eni razpravi o barvah, si oglejmo nekaj dejstev, ki si jih nisem izmislil sam, marveč sem jih izvedel od tete Wikipedije. Poznamo dve vrsti barvne klasifikacije mesa. Po tradicionalni gastronomski klasifikaciji je rdeče meso takšno meso, ki je pred kuhanjem rdeče in tudi po kuhanju ostane temne barve. Belo meso je tisto, ki je svetlo tako pred kot tudi po kuhanju. Druga možna klasifikacije izhaja iz prehranskih znanosti, ki trdijo, da je rdeče meso tisto, ki vsebuje več mioglobina kot belo meso. Seveda je takšna definicija neumna, saj nam ne pove, kaj je belo meso, vendar pa je kljub temu uporaben namig, da je za klasifikacijo ugodno uporabiti količino mioglobina v mišičnem tkivu, s čimer se strinjam celo jaz.

Prešič je sesalec, zato njegovo tkivo sodi med belo meso. Seveda zato, ker je izjema.

Prešič je sesalec, zato njegovo tkivo sodi med belo meso. Seveda zato, ker je izjema.

Iz zapisanega je jasno razvidno, da sta obe klasifikaciji popolnoma arbitrarni, zato pojdimo kar lepo po vrsti. Po gastronomski definiciji spada je rdeče barve meso odraslih sesalcev (kojn, krava, ovca in podobno), medtem ko je meso mladih sesalcev belo (oddojek, jagenjček, kozliček, teliček). Med belo meso spada tudi perutnina, razen gosi in race, ki mišice celotnega telesa uporabljata za letenje, kar je energijsko potratna zadeva in zato zahteva večjo količino mioglobina, kot na primer piščančje prsne mišice, ki so namenjene zgolj občasnemu mahanju z rokami. To je tudi razlog, da se piščančjih beder občasno ne šteje med belo meso temveč med rdeče, saj kokoška noge uporablja za tek, kar od mišic zahteva povečano vsebnost mioglobina. Ha, kot prikladno sem v oklepaj na začetku tega odstavka pozabil zapisati prešiča. Kako pa je s prešičem? Meso odraslega prešiča se po količini mioglobina kategorizira kot rdeče meso. Vendar pa svet ne bi bil tako zabaven, kot je, če ne bi obstajala ameriška kvazi-vladna ustanova Nacionalni svet za svinjino, ki izkorišča dejstvo, da je prešičje meso svetlo-rožnate barve, kar ga po gastronomski definiciji uvršča med belo meso, in na tak način promovira zdravilne lastnosti svinjine.  S tem se seveda strinjajo tudi Židje, saj svinjine ne jedo in jim je zato vseeno.

Raca je ptič, zato njeno tkivo sodi med belo meso. Ali pa rdeče, odvisno, kakšno klasifikacijo si izberemo.

Raca je ptič, zato njeno tkivo sodi med belo meso. Ali pa rdeče, odvisno, kakšno klasifikacijo si izberemo.

Divjačino se gastronomsko običajno uvršča med rdeče meso, ali pa kar v posebno kategorijo, da se ne ustvarja dodatne zmešnjave. Tako, to je vse, kar vem povedati o barvah mesa. Če koga zanima še kaj več, pa si lahko prebere pesmico.

PESMICA O MESU

Rubinasto rdeče meso se blešči,
Da to je govedina, meni se zdi.
Encijan prostora v tej pesmici nima,
Čeprav se ponudi ustrezna nam rima.
Encijan prostora v tej pesmici nima!

Iz perutninskega tkiva je belo meso,
Nič čudnega, barve je svetle zelo.

Bleda je tudi surova svinjina,
Enkratno v tem je sesalsko meso.
Le-temu ni razlog mioglobina količina,
Oh, tega prešiček premore mnogó.

Mioglobin barvo mesa definira,
Ekvator se pne okrog naše zemljé.
Seveda pa človek mesa ne izbira,
Okusno je vsako, naj dobro se jé!

Pri tej pesmici mi je še posebej všeč, da so vse kitice sodovrstičnice. Razen seveda prve. Ta je lihovrstičnica.

Govedina sodi med rdeče meso, zato ker je rdeče barve. Enostavno, mar ne?!

Govedina sodi med rdeče meso, zato ker je rdeče barve. Enostavno, mar ne?!

Objavljeno v Hrana in pijača, Poezija | Tagged , , , , , , , , , , | Komentiraj

Zračni upor

Če bi si ne bil zvil gležnja, bi pohajkoval po slovenskem visokogorju, tako pa imam čas zapisati zanimivo razpravo o zračnem uporu. Običajno mi je malo mar zanj, ko pa sedem na kolo in mi v fris zapiha veter, vem da zračnega upora ne morem zanemarjati in se spopadem z njim. Celo majhnemu otroku je jasno, da nas veter, ki piha v prsi, nasproti naše smeri vožnje, le-to oteževal. Vzrok temu je, da je relativna hitrost kolesarja glede na zrak, skozi katerega se giblje, v primeru vožnje proti vetru večja, kot bi bila, če bi okoliški zrak miroval. Ravno obratno se zgodi, če veter piha kolesarju v hrbet. V tem primeru je njegova hitrost glede na okoliški zrak manjša, zato občuti manjšo silo zračnega upora. Vprašanje, na katerega bom odgovoril v današnji razpravi, je, kaj se zgodi, če veter piha bočno v kolesarja. Ali je vožnja zaradi tega lažja ali težja?

kolesar

Takole izgleda situacija, ki jo preučujemo. Tudi označeno je vse, kar je potrebno.

Začnimo odgovor s kratko fizikalno podlago. Zračni upor kolesarja lahko zelo dobro opišemo s formulo, ki predpostavi kvadratno odvisnost sile od hitrosti:

F_u= k v^2,

kjer je v relativna hitrost kolesarja glede na zrak, k pa konstanta, odvisna od gostote zraka ter oblike in velikosti kolesarja. Ker sta tako sila upora kot relativna hitrost kolesarja glede na zrak vektorja, je enačbo ustrezneje napisati v vektorski obliki:

\vec{F}_u= -k \left| \vec{v} \right| \vec{v}.

Vidimo, da je smer sile upora ravno nasprotna relativni hitrosti kolesarja. Smer in velikost le-te določimo z vektorskim seštevanjem hitrosti kolesarja \vec{v}_0 in obratne hitrosti vetra \vec{v}_V. (Obratno vrednost vzamemo, ker je hitrost kolesarja glede na veter ravno obratna kot hitrost vetra glede na kolesarja.) Vektorska vsota obeh hitrosti \vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{v}_V kaže v smeri vožnje kolesarja le v primeru, ko veter piha točno v smeri njegove vožnje (ali v obratni smeri). Tedaj je sila upora povečana (zmanjšana) in znaša

F_u= k \left(v_0 \pm v_V\right)^2,

kjer znak + ustreza pihanju vetra v obraz, – pa v hrbet. Hitro napazimo, da je lahko zračni upor enak 0, če veter piha v hrbet s hitrostjo, ki je enaka hitrosti kolesarja, vendar pa mora biti naš junak sila len, da do tega dejansko pride, sam pri takšni vožnji ne troši domala nič moči in zato ga hitro označimo za lenuha in prevaranta.

V bolj splošni situaciji veter piha iz poljubne smeri in sila upora ne kaže v smeri vožnje. Tedaj silo upora vektorsko razcepimo na dve komponenti. Prva, F_{u,\perp}, kaže pravokotno na smer vožnje in skuša kolesarja prevrniti v obcestni jarek ali pod kolesa sedeminpoltonskega tovornjaka. To je sicer nekoliko nerodno in izogibanje pogubi od voznika jeklenega konjička zahteva nekaj spretnosti, vendar pa ne vpliva na njegovo hitrost vožnje in na moč, ki jo mora trošiti, da le-to vzdržuje. Le-ta je odvisna le od komponente sile upora, vzporedne s smerjo vožnje,  F_{u,\parallel}, ki jo izračunamo s projeciranjem celotne sile upora:

F_{u,\parallel}= -k \left| \vec{v} \right| v_{\parallel}.

Dobljeni izraz je nekoliko nenavaden, saj v njem hitrost \vec{v} nastopa kot produkt celotne velikosti hitrosti in njene projekcije na smer vožnje. Kot bomo videli v nadaljevanju, to vodi do precej zanimivih zaključkov, ki so popolnoma v skladu z Murphyjevim zakonom.

Pripravimo se na risanje sličic in grafov, ki nam bodo bolj nazorno predstavili zagatnost nastale situacije. Za začetek prepišimo izraz za vzporedno komponento sile upora v brezdimenzijske enote. Na kolesarja, ki se v brezvetrju vozi s hitrostjo v_0, deluje sila upora k v_0^2, zato silo upora izrazimo z brezdimenzijsko količino

f_u = \frac{F_{u,\parallel}}{k v_0^2}.

Kolesar v brezvetrju torej čuti brezdimenzijski upor 1 in to bo naš vatel, s katerim bomo merili, kdaj in za koliko se sila upora v prisotnosti vetra poveča ali zmanjša. Velikost hitrost vetra bomo merili glede na hitrost kolesarja

V = \frac{v_v}{v_0},

kar pomeni, da pri relativni hitrosti V =1 veter piha točno toliko hitro, kot se pelje kolesar. Smer vetra nam določa kot \phi, kjer \phi = 0 pomeni veter direktno v gobec, \phi = \pi/2 veter točno v bok, \phi = \pi pa veter v hrbet, kar pa se v praksi seveda nikdar ne zgodi. Če boste pridni, bom na grafih nanašal kote v stopinjah, da bodo razumljivi tudi neuki raji. Sicer pa kot \pi pomeni 180^\circ,  kot \pi/2 pomeni 90^\circ etc., tako da si lahko vse sami pretvorite.

Če silo upora f_u izrazimo s količinama V in \phi, dobimo izraz

f_u = k \left(1 +V \cos \phi \right) \sqrt{ 1 +2V \cos \phi + V^2}.

Koren izraža velikost relativne hitrosti kolesarja glede na okoliški zrak, člen v oklepaju pa projekcijo te hitrosti na smer vožnje. Pomembno si je zapomniti, da sta oba člena odvisna od smeri vetra, kar vodi do presenetljivih rezultatov. Predstavili jih bomo v obliki grafov.

Za začetek bomo narisali, kako se efektivna sila upora f_u spreminja s kotom \phi pri različnih hitrostih vetra V. Rezultat je predstavljen na Grafu 1.

Slike je videti smiselna. Če vetra ni (rdeča črta), potem je zračni upor f_u =1 ves čas enak ne glede na smer vetra. Pri večjih hitrostih se upor pri majhnih kotih (veter proti kolesarju) poveča, pri kotih blizu \phi = \pi (veter v hrbet) pa se upor ustrezno zmanjša. Pri kotu \phi = 0 je upor kar enak kvadratu vsote hitrosti kolesarja in vetra (1+ V), pri kotu \phi = \pi pa kvadratu razlike hitrosti (1+ V), kar pojasni vrednosti upora 4 in 0 pri hitrosti vetra V=1 pri ekstremnih kotih. Same trivialnosti.

Stvar postane zanimiva, ko si ogledamo rezultate za veter, ki piha domala pravokotno na kolesarja, torej $latex  \phi \approx \pi/2$. Za veter, ki piha pravokotno na smer vožnje, bi upravičeno pričakovali, da ne bo oviral kolesarjeve vožnje. Z Grafa 1 razberemo, da temu ni tako, tudi pri pravokotnem vetru se sila upora na kolesarja poveča. Če si dovolim osebno opazko bi pripomnil, da se mi zdi to krivično, zahrbtno in hinavsko. Ampak kaj hočemo, tako je, matematika ne laže. Da se potolažimo, si kojci poglejmo naslednji graf.

Graf 2 podobno kot Graf 1 prikazuje silo upora f_u, vendar tokrat kot funkcijo hitrosti vetra V pri različnih kotih \phi. Z grafa je torej razvidno, kako se sila upora pri pravokotnem vetru \phi = \pi/2 spreminja, če se hitrost vetra povečuje. Graf 2 je videti takole:

Graf 2: Odvisnost sile upora od hitrosti vetra pri različnih smereh vetra.

Opazimo, da je za majhne in velike kote potek krivulj popolnoma smiseln, če veter piha proti kolesarju, bo sila upora naraščala s hitrostjo vetra, pri vetru v hrbet pa se bo sila manjšala. Vijolična krivulja, ki predstavlja primer vetra v hrbet, pri hitrosti vetra V=1 dejansko zamenja predznak, kar pomeni, da bo veter dejansko začel poganjati kolesarja in le-ta lahko razpre jadro in se vozi zastonj. Najbolj nas seveda zanima zelena krivulja, ki ponazarja upor pri bočnem vetru. Kot vidimo, ta narašča, namesto da bi ostal konstanten, kar bi se zdelo intuitivno. Stvar je zanimiva, zato jo poglejmo še podrobneje.

Graf 3 je vsebinsko enak Grafu 2, le da prikazuje drugačen nabor kotov, osredotočen na vrednosti blizu \phi = \pi/2. Kot \phi je zato izražen kot razlika \Delta \phi = \phi - \pi/2. Pozitiven kot \Delta \phi pomeni, da veter piha kolesarju rahlo v hrbet. Rezultati, predstavljeni na Grafu 3, so prav zato še bolj grozljivi in zaskrbljujoči.

plot_fu_V_1

Graf 3: enako kot Graf 2, samo malo drugače.

Iz Grafa 3 razberemo obilico presunljivih ugotovitev. Recimo to, da obstaja cel interval kotov, pri katerih nam veter majhnih hitrosti pomaga pri kolesarjenju, če pa se okrepi, nas prične zavirati. Hecno, kajne. Priznam, da si niti sam nisem mislil, da so stvari na svetu lahko tudi takšne. Venomer se mi je zdelo, da na svetu vlada red in pravičnost. To je bil tudi eden izmed razlogov, da sem vpisal študij fizike, saj sem želel spoznati, na kakšen način kozmični red deluje in kako se skozenj izraža kozmična pravičnost, potem pa nenadoma spoznam, da je vse skupaj ena sama velika laž. Da je ironija še popolnejša, mi je sanje razblinila prav fizika, ki me je privedla do spoznanja, da ti veter na kolesu lahko piha tudi v hrbet, pa bo kljub temu povečal silo upora, ki jo moraš premagovati pri vožnji. Navadna podlost.

Kaj se lahko iz vsega navedenega naučimo? Odgovor na to vprašanje je predstavljen na Grafu 4. Le-ta je prvi izmed današnjih grafov, ki ne prikazuje sile upora. Namesto tega sem nanj narisal kot, pod katerim mora pihati veter določene hitrosti, da ne bo vplival na silo upora, ki ga moramo premagovati pri vožnji. Pa poglejmo, kako izgleda:

plot_fi_V

Graf 4: Kot, pod katerim mora pihati veter hitrosti V, da kolesarja ne ovira pri vožnji.

Med motrenjem Grafa 4 umemo, da je z večanjem hitrosti vetra potrebno le-tega usmerjati vse bolj v smeri kolesarjeve vožnje, če želimo, da veter ne bo povečeval sile upora, ki jo mora nesrečnež premagovati pri vožnji. Trend se nadaljuje približno do hitrosti V = 1.7, nato pa se kot začne spet zmanjševati. Naj me vrag, če razumem zakaj.

Numerični izračun zračnih tokovnic pri vožnji kolesarja. Potem silnice naredijo zračni upor in zabava se konča.

Pa povzemimo, kaj smo se danes naučili. Najprej smo se spomnili na dejstvo, da veter v fris kolesarju otežuje vožnjo, veter v hrbet pa jo olajšuje. Presenetilo nas je šele dejstvo, da tudi pravokotni veter kolesarju otežuje vožnjo. Kako lahko to razumemo na intuitiven način? Težko. Razlaga se skriva v dejstvu, da sila upora pri bočnem vetru ne deluje v smeri vožnje, marveč kaže vstran, v smeri vsote hitrosti kolesarja in hitrosti vetra. Ker sila upora ni linearno ampak kvadratično odvisna od velikosti hitrosti, pri projeciranju sile na smer vožnje ne dobimo enostavno vsote prispevkov obeh hitrosti, ki povzročata upor, ampak bolj zapleten izraz, ki poskrbi, da prispevek bočnega vetra zadosti Murphyjevemu zakonu o ohranitvi sitnosti, kar lepo povzame naslednja pesem vzhajajoče zvezde slovenske pesniške scene.

Zrak je snov, ki vse nas obdaja,
Raja neuka z njim se oplaja.
Astronavti neso ga v cisterni na luno,
Če zmanjka ga, premalo so ga nesli na luno.
Na kolesu pa zrak nam grdo jo zagode
In ustavlja nas pri vožnji, kot da vlekli bi hlode.

Upanje na srečo zračni upor omrtviči,
Povprečnemu človeku vso radost v srcu uniči.
Onemogoča prijetno nam vožnjo s kolesom,
Rad bi, da bi se to ne zgodilo,” zapišem s svojim ostrim pesniškim peresom.

Objavljeno v Kako stvari delujejo, Konjički, Poezija, Uncategorized, Visoka znanost | Tagged , , , , , , | Komentiraj